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數學基礎發(fā)展史上的不同觀點與悖論 《古今數學思想》書中（第四冊第45頁）：指出：“實數系的邏輯結構問題為十九世紀后葉所重視，無理數被認為是主要難點，然而無理數的意義與性質的發(fā)展預先假定了有理數系的建立，對無理數理論不同的貢獻者來說，或則認為有理數已為眾所確認，無須什么基礎，或則認為只給出一些匆促而臨時應付的方案，…。（第316頁）數學的第三種主要的哲學，稱為形式派（形式主義），它的領導人是希爾伯特，他從1904年開始從事于這種哲學工作，他在那時的動機是給數系提供一個不用集合論的基礎，并且確立算術相容性，因為他自己對于幾何的相容性的證明已約化成算術的相容性，算術的相容性就成了一個沒有解決的關鍵性問題，…?！保逇w納法也不是徹底解決了算術問題。 自亞里士多德直至高斯先生人們都不承認實無限而只承認潛無限，《古今數學思想》書中(第四冊第59頁)指出：“Gauss（高斯）于1831年7月12日給Schumacher（舒馬赫）的信中說：我反對把一個無窮量當作實體，這在數學中是從來不允許的，無窮只是一種說話的方式，當人們確切地說到極限時，是指某些比值可以任意近地趨近它，而另一些則允許沒有界限地增加。”，Canchy，如他前人一樣，不承認無窮集合的存在，因為部分能夠同整體構成一一對應這件事，在他看來是矛盾的。 涉及集合的許多問題的爭論，是無休止的，并且卷入了形而上學的甚至是神學的辯論，大多數數學家對這個問題的態(tài)度是：不談他們自己所不能解決的問題，他們全都避免對實在無窮集合的明確承認，盡管他們使用無窮級數與實數系，他們會說到直線上的點，但避免說直線是由無窮多個點構成的，這樣回避困難問題的方式是虛偽的，但這對于建立古典的分析確實足夠了，然而，當十九世紀面對在分析中建立嚴密性的問題時，關于無窮集合的許多問題就再也躲避不開了。 《古今數學思想》第四冊（第50～51）書中也對引進無理數的方法提出了不同看法和質疑：“無理數的邏輯定義是頗有些不自然的，從邏輯上看，一個無理數不是簡單的一個符號，或一對符號，象兩個整數的比那樣，而是一個無窮的集合，如康托爾的基本序列或戴金的分割，邏輯地定義出來的無理數是一個智慧的怪物。 我們可以理解，為什么希臘人和許多后繼的數學家都覺得這樣的數難以掌握”。 《古今數學思想》書中 (第四冊第58頁) 指出：集合論里的中心難點是無窮集合這個概念本身，從希臘時代以來，這樣的集合很自然地引起數學界與哲學界的注意，而這種集合的本質以及看來是矛盾的性質，使得對這種集合的理解，沒有任何進展，Zenode的悖論可能是難點的第一個跡象，既不是直線的無限可分性，也不是直線作為一個由離散的點構成的無窮集合，足以對運動作出合理的結論。Aristotle（亞里士多德）考慮過無窮集合，例如整數集合，但他不承認一個無窮集合可以作為固定的整體而存在，對他來說，集合只能是潛在地無窮。 《古今數學思想》第四冊（第116頁）書中又說：“我們注意到，在過去曾經精力旺盛地熱情地從事過的許多領域，曾被它們的擁護者譽為數學的精髓所在，其實只不過是一時的愛好，或者在整個數學的征途上只留下少許的影響。（二十世紀）上半世紀有信心的數學家們可能會認為他們的工作是最重要的，然而，他們的貢獻在數學史上的地位，現在還是不能確定的，等語言，”。 羅素悖論、 康托爾悖論、數學基礎的“三大數學流派： 《古今數學思想》書中 (第四冊第289頁) 指出：二十世紀數學中最為深入的活動，使關于基礎的探討，強加于數學家的問題，以及他們自愿承擔的問題，不僅牽涉到數學的本質，也牽涉到演繹數學的正確性。 在這世紀的前期，有幾種活動匯合起來把基礎問題引到一個高潮，首先是矛盾的發(fā)現，委婉地被稱為悖論，在集合論中尤為突出。……。 《古今數學思想》書中 (第四冊第290頁) 指出：“理發(fā)師的悖論”，羅素在1918年把一個悖論通俗化成為“理發(fā)師悖論”，一個鄉(xiāng)村理發(fā)師，自夸無人可與相比，宣稱他當然不給自己刮臉的人刮臉，但卻給所有自己不刮臉的人刮臉，一天他發(fā)生了疑問，他是否應當給自己刮臉，假如他自己刮臉的話，則按他聲言的前一半，他就不應當給自己刮臉；但是假如他自己不刮臉的話，則照他自夸的，他又必須給自己刮臉，這理發(fā)師陷入了邏輯的窘境。 《古今數學思想》書中 (第四冊第291～292頁) 指出： 康托爾在1899年給戴金的一封信中曾指出，人們要想不陷入矛盾的話就不能談論由一切集合所組成的集合（第41章第9節(jié)），實質上這就是羅素的悖論的內容（《數學原理》），由一切人組成的類不是一個人，但由一切概念組成的類卻是一個概念；有一切圖書館組成的類是一個圖書館；由一切基數大于1的集合組成的類也是這樣一個集合。因此，有一些類不是它們自己的元素，而有一些則是它們自己的元素。這個對于類的描述，包括了一切類，并且這兩種類型是互相排斥的，我們用M表示一切包含自己為元素的那些類所組成的類，用N表示一切不包含自己為元素的那些類所組成的類，現在，N本身也是一個類，我們要問它是屬于M還是屬于N？若N屬于N，則N就是它自己的一個元素，因而又必須屬于M，另一方面，若N為M的一個元素，則因M和N是互相排斥的類，N就不會屬于N，于是N不是它自己的元素，因而由于N的定義，它應當屬于N。 所有這些悖論的起因，如羅素和懷特海指出的，都在于一個要定義的東西是用包含著這個東西在內一類東西來定義的，這種定義也稱為說不清的，特別發(fā)生在集合論中，策梅羅在1908年曾指出，一組數的下界的定義，以及分析中其它一些概念的定義，都是這種類型的定義，因此經典分析包含著悖論。 《古今數學思想》書中 (第四冊第292頁) 指出：康托爾關于實數集合不可數的證明（第41章第7節(jié)）也用到了這樣一個說不清的集合，假定在所有正整數組成的集合與所有實數組成的集合M之間有一個一一對應，而每一個實數又對應于一組整數，于是每一個整數k都對應著一個集合f(k),而f(k)或是包含k或是不包含k，N為所有那些使k不屬于f(k)的k所組成的集合，這個集合N（取某一順序）為一個實數，因而，按假定的一一對應就應該有一個整數n對應于N，若n屬于N，則按N的定義，它將不屬于N；若n不屬于N，則按N的定義，它又應屬于N，集合N的定義是說不清的，這是因為要k屬于N，必須且只需在M中有一個集合K使K=f(k)并且k不屬于K,這樣，在定義N時就用到了一些集合的全體M，它包含著N作為元素，這就是說要定義N，N必須已經包含在M中。 在無意中陷入了引進說不清的定義的陷阱，這是很容易的。……。 《古今數學思想》第四冊（第320~321頁）書中又指出：“不完備性的不足之處就在于，形式系統(tǒng)還不足以用來證明所有在系統(tǒng)中可以作出的判斷。損傷更兼屈辱，系統(tǒng)中存在著這樣的判斷，它們是不可斷定的但在直觀上又是真的，等語句，因為哥得爾證明了，包括著數論的任何系統(tǒng)都必定含有不可斷定的命題。這樣，盡管布勞維已經弄清楚了，直觀上明確的東西不及數學上證明了的東西多；哥德爾卻證明了，直觀的正確會超過數學的證明，”等語句。 《古今數學思想》書中 (第四冊第322~323頁) 指出：“對于數學基礎的根本問題所提出的解答——（康托爾、等等先生的）經典集合論公理化，（羅素、懷特海）邏輯主義、（克羅內克、布勞維）直覺主義、（希爾伯特）形式主義——都沒有達到目的，沒有對數學提供一個可以普遍接受的徑。在哥德爾1931年的工作以后的發(fā)展，也沒有在實質上改變這種狀況，…；該書中又指出：韋爾對數學的現狀作了恰當的描述：關于數學最終基礎和最終意義的問題還是沒有解決，我們不知道向哪里去找它的最后解答，…”,這就是純粹數學的基本現狀。 《古今數學思想》書中 (第四冊第323~324頁) 指出：1930年以后的全部發(fā)展還留下來兩個沒有解決的大問題：去證明不加限制的經典分析與集合論的相容性，以及在嚴格直觀的根基上去建立數學，或者去確定這種途徑的限度，在這兩個問題中，困難的根源都在于無窮集合和無限程序中所用到的無窮這個概念，即使對于希臘人也應經在無理數上造成了問題，而且他們在窮竭法中躲開它。從那以后，無窮這個概念一直是爭論的地題目，并使韋爾說道，數學是無限的科學。 關于數學的適當邏輯基礎的問題，特別是直觀主義的興起，在某種較廣的意義上，顯示出數學走了一個圓圈。這門學科是在直觀的和經驗的基礎上起始的，嚴密性在希臘時代就變成了一個目標，雖說到十九世紀以前在受到沖擊時仍更加受到尊重，它似乎就要達到了，但是，過分追求嚴密性，將引入絕境而失去它的真正意義，數學仍是活躍而富有生命力的，但是它只能建立在實用的基礎上。 自亞里士多德直至高斯先生人們都不承認實無限而只承認潛無限，引進實無限數學理論大多數專家似乎舍棄了潛無限數學理論，實無限排斥潛無限、潛無限也排斥實無限，事實上互相排斥，必明確指出承認接受潛無限理論千萬莫排斥掉了實無限數學理論，承認接受實無限千萬莫排斥丟掉了潛無限的數學理論，…。 《古今數學思想》第四冊書中（第313頁）也指出：“…，數學中最重要的進展都不是由于要把邏輯形式完美化而得到的，而是由于基本理論本身的變革，是邏輯依靠數學，而不是數學依靠邏輯?！?/font> 產生邏輯悖論的主要原因：總而言之，試圖讓邏輯包羅萬象、竭盡所有，特殊矛盾與普遍矛盾不加以人為區(qū)分試圖共享一個邏輯，謬誤與真理不加以人為區(qū)分試圖共享一個邏輯，必定遭遇邏輯悖論而不可思議，因為再好的邏輯自身不會加以區(qū)分和限制，數學基礎發(fā)展史上不乏其例，比如“鄉(xiāng)村理發(fā)師”的邏輯悖論（邏輯比喻）,就是一個特殊矛盾與普遍矛盾不加以區(qū)分的典型例子，“理發(fā)師”他自己是特殊矛盾，他必須唯一地將自己排除在外，具體問題具體分析…等等；（數學中也有范例可舉，例如在數理邏輯中：m/n,式中n≠0，n=0是特殊矛盾，所以在該式中數理邏輯將n=0排斥在外，人為處理得恰到好處），世上無十全十美的萬能邏輯供我們人類選擇與使用，…。
編輯、點評：奇東、李愛君、李天佑
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發(fā)表于 2023-11-13 11:35
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